Mục lục nội dung
Đạo hàm
Định nghĩa đạo hàm
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại \ ( x_0 \ ), khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) tại điểm \ ( x_0 \ ) .Đạo hàm của hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) được ký hiệu là \ ( y ‘ ( x_0 ) \ ) hoặc \ ( f ‘ ( x_0 ) \ ) : \[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\]
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\]
Bạn đang đọc: Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
hoặc \[y'(x_0) = \lim_{ \Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
- Số gia của đối số là \(\Delta x = x – x_0\)
- Số gia của hàm số là \(\Delta y = y – y_0\)
\ [ y ‘ ( x_0 ) = \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } \ ]
Nói 1 cách dễ hiểu:Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ
giá trị đạo hàm tại 1 điểm \(x_0\) thể hiện:
- Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương
+
hay âm-
) - Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x)
Đạo hàm một bên
- Đạo hàm bên trái của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x_0\) là khi \(\Delta x\to 0^-\) (tức \(x\to x_0\) và nhỏ hơn \(x_0\))
- Ký hiệu: \(f'(x_0^-)\)
- Đạo hàm bên phải của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x_0\) là khi \(\Delta x\to 0^+\) (tức \(x\to x_0\) và lớn hơn \(x_0\))
- Ký hiệu: \(f'(x_0^+)\)
- \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) <=> \(f'(x_0) = f'(x_0^-) = f'(x_0^+)\)
Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Hàm số liên tục
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) được gọi là liên tục tại \ ( x_0 \ ) nếu \ ( \ lim_ { x \ to x_0 } f ( x ) = f ( x_0 ) \ )
Chú ý: \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0\) nếu thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
- \(f(x)\) xác định tại \(x_0\).
- \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) tồn tại.
- \(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Nhắc lại số lượng giới hạn của hàm số : Giới hạn của hàm số – lim
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
- Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.
- Nếu hàm số không liên tục tại \(x_0\) thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Lưu ý: Hàm số liên tục tại điểm \(x_0\) thì chưa chắc
có đạo hàm tại \(x_0\)
Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0, f(x_0))\) đó.
Xem thêm: LGBTQI+ có nghĩa là gì?
=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M : \ ( y – y_0 = f ‘ ( x_0 ) ( x – x_0 ) \ )
Ý nghĩa vật lý
Xét hoạt động thẳng \ ( s = f ( t ) \ )
Khi đó vận tốc tức thời
tại thời điểm \(t_0\) là: \(v(t_0) = s'(t_0) = f'(t_0)\)
Còn gia tốc tức thời
tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động:
\[a(t_0) = f”(t_0)\] \ [ a ( t_0 ) = f ‘ ‘ ( t_0 ) \ ]Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác lập bởi phương trình : \[Q = f(t)\] \ [ Q = f ( t ) \ ]
Cường độ tức thời
của dòng điện tại thời điểm \(t_0\): \(I(t_0) = Q'(t_0) = f'(t_0)\)
Bài tập đạo hàm : Tổng hợp những dạng bài tập đạo hàm ( 2018 )
Ta thường nghe đến vi phân sau khi học đạo hàm. Mời bạn tham khảo bài Vi phân là gì? để nắm định nghĩa ngắn gọn nhất về nó.
Các bài viết tìm hiểu thêm thêm về Toán học :
Source: https://blogchiase247.net
Category: Hỏi Đáp