Diện tích – Wikipedia tiếng Việt

Tổng diện tích của 3 hình xê dịch 15.57 hình vuông vắn đơn vị chức năng

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina phẳng, trong mặt phẳng. Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trên bề mặt hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng sơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn.[1] Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với các hình vuông có kích thước cố định.[2] Trong Hệ thống đơn vị quốc tế (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn là mét vuông (viết là m2), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài một mét.[3] Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trong toán học, hình vuông đơn vị được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là một số thực không thứ nguyên.

Bạn đang đọc: Diện tích – Wikipedia tiếng Việt

Có một số ít công thức nổi tiếng cho những diện tích có hình dạng đơn thuần như hình tam giác, hình chữ nhật và hình tròn. Sử dụng những công thức này, diện tích của bất kể đa giác nào đều hoàn toàn có thể được đo lường và thống kê bằng cách chia đa giác thành những hình tam giác. [ 4 ] Đối với những hình có ranh giới cong, tích phân thường được dùng để tính diện tích. Thật vậy, yếu tố xác lập diện tích những hình phẳng là một động lực chính cho sự tăng trưởng lịch sử dân tộc của tích phân. [ 5 ]Đối với một hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình tròn trụ, diện tích mặt phẳng ranh giới của nó được gọi là diện tích mặt phẳng. [ 1 ] [ 6 ] [ 7 ] Các công thức cho những diện tích mặt phẳng của những hình dạng đơn thuần đã được người Hy Lạp cổ đại giám sát, nhưng thống kê giám sát diện tích mặt phẳng của một hình dạng phức tạp hơn thường yên cầu tích phân đa biến .Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học tân tiến. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó trong hình học và giám sát, diện tích có tương quan đến định nghĩa những yếu tố quyết định hành động trong đại số tuyến tính, và là một đặc thù cơ bản của những mặt phẳng trong hình học vi phân. Trong nghiên cứu và phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác lập bằng cách sử dụng thước đo Lebesgue, [ 8 ] mặc dầu không phải mọi tập hợp con đều hoàn toàn có thể đo được. [ 9 ] Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt quan trọng về thể tích cho những vùng có hai chiều. [ 1 ]Diện tích hoàn toàn có thể được xác lập trải qua việc sử dụng những tiên đề, xác lập nó là một hàm của một tập hợp những hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp những số thực. Nó hoàn toàn có thể được chứng tỏ rằng một hàm như vậy là sống sót .

Mục lục nội dung

Định nghĩa hình thức[sửa|sửa mã nguồn]

Một cách tiếp cận để xác lập ý nghĩa của ” diện tích ” là trải qua những tiên đề. ” Diện tích ” hoàn toàn có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm những hình phẳng đặc biệt quan trọng ( gọi là tập hợp hoàn toàn có thể đo được ) đến tập những số thực, thỏa mãn nhu cầu những đặc thù sau :

Với mọi S thuộc M thì a (S) ≥ 0.
Nếu S và T nằm trong M thì S ∪ T và S ∩ T, và a (S ∪ T) = a (S) + a (T) – a (S ∩ T).
Nếu S và T nằm trong M với S ⊆ T thì T – S thuộc M và a (T – S) = a (T) – a (S).
Nếu một tập hợp S thuộc M và S đồng nhất với T thì T cũng thuộc M và a (S) = a (T.
Mọi hình chữ nhật R đều nằm trong M. Nếu hình chữ nhật có chiều dài h và chiều rộng k thì a (R) = hk.
Gọi Q là một tập hợp nằm giữa hai vùng bước S và T. Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề nằm trên một cơ sở chung, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn tại một số duy nhất c sao cho a (S) ≤ c ≤ a (T) đối với tất cả các vùng bước S và T như vậy, thì a (Q) = c.

Có thể chứng tỏ rằng một hàm diện tích như vậy thực sự sống sót. [ 10 ]
Mọi đơn vị chức năng độ dài đều có một đơn vị chức năng diện tích tương ứng là diện tích hình vuông vắn có độ dài cạnh bằng đơn vị chức năng độ dài đã cho. Do đó diện tích hoàn toàn có thể được đo bằng mét vuông ( mét vuông ), vuông cm ( cm2 ), milimét vuông ( mm2 ), kilômét vuông ( km2 ), feet vuông ( ft 2 ), yard vuông ( yd 2 ), dặm vuông ( mi2 ), v.v. [ 11 ] Về mặt đại số, những đơn vị chức năng này hoàn toàn có thể được coi là bình phương của những đơn vị chức năng độ dài tương ứng .Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là một đơn vị chức năng dẫn xuất SI. [ 3 ]
2 trong 1 cm2.Mặc dù có 10 mm trong 1 cm, có 100 mmtrong 1 cmTính diện tích của một hình vuông vắn có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là :1 mét × 1 mét = 1 mét vuôngvà do đó, một hình chữ nhật có những cạnh khác nhau ( giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét ) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị chức năng hình vuông vắn hoàn toàn có thể được tính như sau :3 mét × 2 mét = 6 mét vuông. Điều này tương tự với 6 triệu mm vuông. Các quy đổi có ích khác là :

1 km vuông = 1.000.000 mét vuông
1 mét vuông = 10.000 cm vuông = 1.000.000 mm vuông
1 cm vuông = 100 mm vuông.

Đơn vị không phải hệ mét[sửa|sửa mã nguồn]

Trong đơn vị chức năng không thuộc hệ mét, việc quy đổi giữa hai đơn vị chức năng vuông là bình phương của việc quy đổi giữa những đơn vị chức năng chiều dài tương ứng .1 foot = 12 inch ,mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là1 foot vuông = 144 inch vuông ,trong đó 144 = 122 = 12 × 12. Tương tự :

1 yard vuông = 9 feet vuông
1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài ra, những yếu tố quy đổi gồm có :

1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
1 foot vuông =
0.09290304

mét vuông
1 yard vuông =
0.83612736

mét vuông
1 dặm vuông =
2.589988110336

km vuông

Các đơn vị chức năng khác gồm có những đơn vị chức năng mang tính lịch sử vẻ vang[sửa|sửa mã nguồn]

Có một số ít đơn vị chức năng thông dụng khác cho diện tích. A là đơn vị chức năng diện tích khởi đầu trong hệ mét, với :

1 a = 100 mét vuông

Mặc dù đã không còn sử dụng, hecta vẫn thường được sử dụng để đo đất : [ 12 ]

1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất

1 mẫu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một mẫu Anh là khoảng chừng 40 % của một hecta .Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị chức năng barn : [ 13 ]

1 barn = 10 −28 mét vuông.

Barn được sử dụng phổ cập trong việc miêu tả vùng tương tác mặt cắt ngang trong vật lý hạt nhân. [ 14 ]Ở Ấn Độ ,

20 dhurki = 1 dhur
20 dhur = 1 khatha
20 khata = 1 bigha
32 khata = 1 mẫu Anh

Diện tích hình tròn trụ[sửa|sửa mã nguồn]

Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates xứ Chios là người tiên phong chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa ( vùng được bao quanh bởi một vòng tròn ) tỷ suất với bình phương đường kính của nó, như một phần của việc cầu phương của ông, [ 15 ] nhưng không xác lập được hằng số tỷ suất. Eudoxus của Cnidus, cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ suất thuận với bình phương nửa đường kính của nó. [ 16 ]

Sau đó, Quyển I của Cơ sở của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán học Archimedes sử dụng các công cụ của Euclid để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của một tam giác vuông có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ông Đo một hình tròn. (Chu vi là 2 πr, và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tích πr 2 cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằng phương pháp nhân đôi của mình, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra một hình lục giác đều., sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự với đa giác ngoại tiếp).

Nhà khoa học người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng tỏ rằng π, tỷ số giữa diện tích hình tròn trụ với nửa đường kính bình phương của nó, là số vô tỉ, nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kể. [ 17 ] Năm 1794, nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre đã chứng tỏ rằng π2 là vô tỉ ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ. [ 18 ] Năm 1882, nhà toán học người Đức Ferdinand von Lindemann đã chứng tỏ rằng π là số siêu việt ( không phải là nghiệm của bất kể phương trình đa thức nào với thông số hữu tỉ ), chứng tỏ này xác nhận một phỏng đoán của cả Legendre và Euler. [ 17 ] : p. 196

Diện tích tam giác[sửa|sửa mã nguồn]

Heron (hay Hero) của Alexandria đã tìm ra cái được gọi là công thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằng Archimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó,[19] và vì Metrica là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.[20]

Năm 499, Aryabhata, một nhà toán học – thiên văn học vĩ đại của thời đại cổ điển của toán học Ấn Độ và thiên văn học Ấn Độ, đã biểu thị diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao trong Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trong Shushu Jiuzhang (“Cửu chương toán thuật”), tác phẩm của Qin Jiushao.

Diện tích tứ giác[sửa|sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ thứ 7, Brahmagupta đã tăng trưởng một công thức, giờ đây được gọi là công thức Brahmagupta, cho diện tích của một tứ giác nội tiếp ( một tứ giác có những đỉnh nằm trên một vòng tròn ) theo những cạnh của nó. Năm 1842, những nhà toán học người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đã độc lập với nhau, cùng tìm ra một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào .

Diện tích đa giác[sửa|sửa mã nguồn]

Sự tăng trưởng của tọa độ Descartes do René Descartes kiến thiết xây dựng vào thế kỷ 17 được cho phép tăng trưởng công thức cho diện tích của bất kể đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết của Gauss vào thế kỷ 19 .

Diện tích được xác lập bằng phép tính tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

Sự tăng trưởng của phép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã phân phối những công cụ sau đó hoàn toàn có thể được sử dụng để đo lường và thống kê những diện tích phức tạp hơn, ví dụ điển hình như diện tích hình elip và diện tích mặt phẳng của những vật thể ba chiều cong khác nhau .

Công thức diện tích[sửa|sửa mã nguồn]

Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn), tọa độ Descartes

(

)

{\displaystyle (x_{i},y_{i})}

$(x_{i},y_{i})$ (i = 0, 1,…, n -1) của n đỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:[21]

A
=

1
2

∑

i
=
0

n
−
1

(

i
+
1

−

i
+
1

)

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|}

$A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|$

trong đó khi i = n -1, thì i +1 được biểu thị dưới dạng môđun n và do đó quy về 0.

Xem thêm: Cùng Tìm Hiểu Các Chức Danh Giám Đốc Trong Công Ty

Hình chữ nhật[sửa|sửa mã nguồn]

lw.Diện tích của hình chữ nhật này làCông thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dài l và chiều rộng w, công thức của diện tích là : [ 2 ] [ 22 ]

A = lw.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì l = w trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnh s được cho bởi công thức:[1][2][23]

A = s2

Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên những đặc thù cơ bản của diện tích, và nhiều lúc được coi là một định nghĩa hoặc tiên đề. Mặt khác, nếu hình học được tăng trưởng trước số học, công thức này hoàn toàn có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân những số thực .

Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác[sửa|sửa mã nguồn]

Hầu hết những công thức đơn thuần khác cho diện tích đều tuân theo chiêu thức tách hình. Điều này gồm có việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ là việc dùng phép cộng những diện tích những hình con .
Sơ đồ cho thấy cách một hình bình hành hoàn toàn có thể được sắp xếp lại thành hình chữ nhật .Ví dụ, bất kể hình bình hành nào cũng hoàn toàn có thể được chia nhỏ thành hình thang và tam giác vuông, như biểu lộ trong hình bên trái. Nếu tam giác được vận động và di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó : [ 2 ]

A = bh (hình bình hành).

Một hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau .Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng hoàn toàn có thể được cắt theo một đường chéo thành hai tam giác tương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành : [ 2 ]

A
=

1
2

b
h

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}

$A={\frac {1}{2}}bh$ (Tam giác).

Các phép chứng tỏ tựa như hoàn toàn có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho hình thang [ 24 ] cũng như những đa giác phức tạp hơn. [ 25 ]

Diện tích những hình cong[sửa|sửa mã nguồn]

Công thức tính diện tích hình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích đĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính r nó có thể phân vùng các vòng tròn vào các lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là r, và chiều rộng bằng nửa chu vi của hình tròn, hay πr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là πr2:[2]

A = πr2 (hình tròn).

Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng là πr2, là diện tích của hình tròn.[26]

Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn thuần của những sáng tạo độc đáo của phép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại, giải pháp hết sạch được sử dụng một cách tương tự như để tìm diện tích hình tròn trụ, và giải pháp này thời nay được công nhận là tiền thân của phép tính tích phân. Sử dụng những giải pháp văn minh, diện tích hình tròn trụ hoàn toàn có thể được tính bằng cách sử dụng một tích phân xác lập :

∫

−
r

−

d
x

{\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}

$A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$

Công thức cho diện tích được bao bởi một hình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụ x và y, với công thức là:[2]

A
=
π
x
y
.

{\displaystyle A=\pi xy.}

$A=\pi xy.$

Diện tích mặt phẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Hầu hết những công thức cơ bản cho diện tích mặt phẳng hoàn toàn có thể thu được bằng cách cắt những mặt phẳng và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một hình tròn trụ ( hoặc bất kể hình lăng trụ nào ) được cắt theo chiều dọc, mặt phẳng đó hoàn toàn có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực thi dọc theo mặt bên của hình nón, mặt phẳng bên hoàn toàn có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn trụ và diện tích hiệu quả hoàn toàn có thể được tính ra .

Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có độ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được Archimedes thu được trong tác phẩm Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:[6]

$A = 4 πr 2$
(hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự như tích phân.

Công thức chung[sửa|sửa mã nguồn]

Diện tích của những hình 2 chiều[sửa|sửa mã nguồn]

$A={\tfrac {b\cdot h}{2}}$ Diện tích tam giác

Hình tam giác: ${\tfrac {1}{2}}Bh$ B là cạnh bất kỳ và h là khoảng cách từ đường thẳng mà B nằm đến đỉnh còn lại của tam giác). Có thể sử dụng công thức này nếu biết chiều cao h. Nếu biết độ dài của ba cạnh thì có thể sử dụng công thức Heron: ${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ a, b, c là các cạnh của tam giác và $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ [2] Nếu cho một góc và hai cạnh bên của nó, diện tích là ${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)$ $C$
là góc đã cho và
$a$
và
$b$
là các cạnh của nó.[2] Nếu tam giác được vẽ đồ thị trên một mặt phẳng tọa độ, một ma trận có thể được sử dụng và được đơn giản hóa thành giá trị tuyệt đối của ${\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})$ công thức dây giày và là một cách dễ dàng để giải diện tích của một tam giác tọa độ bằng cách thay thế 3 điểm (x 1, y 1), (x 2, y 2) và (x 3, y 3). Công thức dây giày cũng có thể được sử dụng để tìm diện tích của các đa giác khác khi các đỉnh của chúng đã biết. Một cách tiếp cận khác cho tam giác tọa độ là sử dụng phép tính để tìm diện tích.
Một đa giác đơn được xây dựng trên một lưới các điểm có khoảng cách bằng nhau (tức là các điểm có tọa độ nguyên) sao cho tất cả các đỉnh của đa giác là các điểm lưới: $i+{\frac {b}{2}}-1$ i là số điểm lưới bên trong đa giác và b là số điểm biên. Kết quả này được gọi là định lý Pick.[27]

Diện tích trong giải tích[sửa|sửa mã nguồn]

f (x), giữa hai điểm (ở đây là a và b).Tích phân hoàn toàn có thể được coi là đo diện tích dưới một đường cong, được xác lập bởi ), giữa hai điểm ( ở đâyvà ) . Diện tích giữa hai đồ thị hoàn toàn có thể được nhìn nhận bằng cách tính hiệu giữa tích phân của hai hàm

Diện tích giữa đường cong có giá trị dương và trục hoành, được đo giữa hai giá trị a và b (b được định nghĩa là lớn hơn trong hai giá trị) trên trục hoành, được cho bởi tích phân từ a đến b của hàm đại diện cho đường cong:[1]
- $A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$
Diện tích giữa đồ thị của hai hàm số bằng tích phân của một hàm số, f (x), trừ đi tích phân của hàm số kia, g (x):
- $A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$
Diện tích bị giới hạn bởi một hàm r = r (θ) được biểu thị bằng tọa độ cực là:[1]
- $A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .$
Khu vực được bao quanh bởi một đường cong tham số
u
→

(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)

{\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}

Xem thêm: COO là gì? Khác nhau COO và CEO, CFO, CPO, CCO, CHRO, CMO?

${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$ ${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$ tích phân đường:
- $\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$
(xem định lý Green) hoặc thành phần z của
- ${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$