Giai thừa – Wikipedia tiếng Việt

n
n!

0
1

1
1

2
2

3
6

4
24

5
120

6
720

7

5040

8

40

320

9

362880

10

3628800

15

1307674368000

20

2432902008176640000

25

15511210043×1025

50

30414093202×1064

70

11978571670×10100

100

93326215444×10157

171

12410180702×10309

450

17333687331×101000

1000

40238726008×102567

3249

64123376883×1010000

10000

28462596809×1035659

25206

12057034382×10100000

100000

28242294080×10456573

205023

25038989317×101000004

1000000

82639316883×105565708

10

248

383838×1098

10

10000000000×10100

10000000000×10100

10

99565705518×10101

17976931349×10308

10

55336665775×10310

Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương,”n giai thừa“, ký hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.

n! = 1.2.3….n
VD: 4! = 1.2.3.4 = 24
8! = 1.2.3…..7.8 = 40 320

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1.
Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.
Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp – xác suất

Định nghĩa đệ quy[sửa|sửa mã nguồn]

Ta hoàn toàn có thể định nghĩa đệ quy ( quy nạp ) n ! như sau

  1. 0! = 1
  2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Một số đặc thù của giai thừa[sửa|sửa mã nguồn]

  1. Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (abc) có cùng cơ số và mũ.
  2. log a ⁡ ( n ! ) = ∑ x = 1 n log a ⁡ ( x ). { \ displaystyle \ log _ { a } { ( n ! ) } = \ sum _ { x = 1 } ^ { n } \ log _ { a } ( x ). }{\displaystyle \log _{a}{(n!)}=\sum _{x=1}^{n}\log _{a}(x).}
  3. ∫ 1 n log ⁡ x d x ≤ ∑ x = 1 n log ⁡ x ≤ ∫ 0 n log ⁡ ( x + 1 ) d x { \ displaystyle \ int _ { 1 } ^ { n } \ log x \, dx \ leq \ sum _ { x = 1 } ^ { n } \ log x \ leq \ int _ { 0 } ^ { n } \ log ( x + 1 ) \, dx } \int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx
  4. n log ⁡ ( n e ) + 1 ≤ log ⁡ n ! ≤ ( n + 1 ) log ⁡ ( n + 1 e ) + 1. { \ displaystyle n \ log \ left ( { \ frac { n } { e } } \ right ) + 1 \ leq \ log n ! \ leq ( n + 1 ) \ log \ left ( { \ frac { n + 1 } { e } } \ right ) + 1. } n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left(\frac{n+1}{e} \right) + 1.
  5. e ( n e ) n ≤ n ! ≤ e ( n + 1 e ) n + 1. { \ displaystyle e \ left ( { \ frac { n } { e } } \ right ) ^ { n } \ leq n ! \ leq e \ left ( { \ frac { n + 1 } { e } } \ right ) ^ { n + 1 }. }e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.
  6. n ! ≈ 2 π n ( n e ) n. { \ displaystyle n ! \ approx { \ sqrt { 2 \ pi n } } \ left ( { \ frac { n } { e } } \ right ) ^ { n }. }n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.Stirling).
  7. n ! > 2 π n ( n e ) n. { \ displaystyle n ! > { \ sqrt { 2 \ pi n } } \ left ( { \ frac { n } { e } } \ right ) ^ { n }. }n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53011fa64b41d48e95a4b07643cdac86cb5daf03″/></span></li> <li><span class=ln ⁡ ( n ! ) ≈ n ln ⁡ ( n ) − n + ln ⁡ ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + ln ⁡ ( π ) 2. { \ displaystyle \ ln ( n ! ) \ approx n \ ln ( n ) – n + { \ frac { \ ln ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) } { 6 } } + { \ frac { \ ln ( \ pi ) } { 2 } }. }{\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}.}

Đây là công thức ước đạt của Srinivasa Ramanujan .

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa|sửa mã nguồn]

  • Công thức tính số tổ hợp:

C

n

k

=

n
!

k
!
(
n
−
k
)
!

(
0
< k ≤ n ) {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}(0C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}(0 < k \le n)

  • Công thức tính số chỉnh hợp:

A

n

k

=

n
!

(
n
−
k
)
!

(
0
< k ≤ n ) {\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}(0A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}(0 < k \le n)

Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa|sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0 ! = 1, còn những giai thừa của số âm không sống sót. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã xử lý xong .Một yếu tố được đặt ra : phải lan rộng ra giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào ?

Công thức Gamma[sửa|sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau :

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t { \ displaystyle \ Gamma ( z ) = \ int _ { 0 } ^ { \ infty } t ^ { z-1 } e ^ { – t } \, { \ rm { d } } t }\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,{\rm d}t

Bằng giải pháp tích phân từng phần ta có được :

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ). { \ displaystyle \ Gamma ( z + 1 ) = z \, \ Gamma ( z ) \ ,. }\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,.

Khi đó ta có :

z ! = Γ ( z + 1 ). { \ displaystyle z ! = \ Gamma ( z + 1 ). \, }z! = \Gamma(z + 1).\,

Sau này Euler và Weierstrass đã biến hóa lại thành :

Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( n + k ) { \ displaystyle \ Gamma ( z ) \ = \ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { n ^ { z } n ! } { \ prod _ { k = 0 } ^ { n } ( n + k ) } } }\Gamma(z)\ = \lim_{n \to \infty}\frac {n^zn!}{\prod_{k = 0}^n (n + k)}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng tỏ, đó là :

Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ⁡ ( π z ) { \ displaystyle \ Gamma ( z ) \ \ Gamma ( 1 – z ) \ = { \ frac { \ pi } { \ sin ( { \ pi } z ) } } }\Gamma(z)\ \Gamma(1 - z)\ = \frac {\pi}{\sin ({\pi}z)}

Thay z = 50% ta thu được :

Γ ( 1 2 ) = π { \ displaystyle \ Gamma \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ = { \ sqrt { \ pi } } }\Gamma \left(\frac {1}{2} \right)\ = \sqrt{\pi}

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là :

Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ). { \ displaystyle \ Gamma ( z ) \ ; \ Gamma \ left ( z + { \ frac { 1 } { m } } \ right ) \ ; \ Gamma \ left ( z + { \ frac { 2 } { m } } \ right ) \ cdots \ Gamma \ left ( z + { \ frac { m-1 } { m } } \ right ) = ( 2 \ pi ) ^ { ( m-1 ) / 2 } \ ; m ^ { 50% – mz } \ ; \ Gamma ( mz ) \ ,. } \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\,.

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng tỏ :

Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) ! 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = π ⋅ [ ( n − 1 2 n ) n ! ] { \ displaystyle \ Gamma \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } + n \ right ) = { ( 2 n ) ! \ over 4 ^ { n } n ! } { \ sqrt { \ pi } } = { \ frac { ( 2 n – 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } } } \, { \ sqrt { \ pi } } = { \ sqrt { \ pi } } \ cdot \ left [ { n – { \ frac { 1 } { 2 } } \ choose n } n ! \ right ] }\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]
Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π / [ ( − 1 2 n ) n ! ] { \ displaystyle \ Gamma \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } – n \ right ) = { ( – 4 ) ^ { n } n ! \ over ( 2 n ) ! } { \ sqrt { \ pi } } = { \ frac { ( – 2 ) ^ { n } } { ( 2 n – 1 ) ! ! } } \, { \ sqrt { \ pi } } = { \ sqrt { \ pi } } / \ left [ { – { \ frac { 1 } { 2 } } \ choose n } n ! \ right ] }\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]

Giai thừa với số thực[sửa|sửa mã nguồn]

Giai thừa với số thực .Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, những nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau :

z ! = Π ( z ) = Γ ( z + 1 ). { \ displaystyle z ! = \ Pi ( z ) = \ Gamma ( z + 1 ) \ ,. }z! = \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.

Như vậy :

( − 0, 5 ) ! = Π ( − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ). { \ displaystyle ( – 0,5 ) ! = \ Pi \ left ( – { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) = \ Gamma \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ ,. }(-0,5)! = \Pi \left(-\frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) \,.
( n − 0, 5 ) ! = Π ( n − 1 2 ) = Γ ( n + 1 2 ). { \ displaystyle ( n-0, 5 ) ! = \ Pi \ left ( n – { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) = \ Gamma \ left ( n + { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ ,. }(n - 0,5)! = \Pi \left(n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(n + \frac{1}{2} \right) \,.
( − n − 0, 5 ) ! = Π ( − n − 1 2 ) = Γ ( − n + 1 2 ). { \ displaystyle ( – n-0, 5 ) ! = \ Pi \ left ( – n – { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) = \ Gamma \ left ( – n + { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ ,. }{\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}

Ví dụ :

  • Γ ( 4.5 ) = 3.5 ! = Π ( 3.5 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 105 16 π ≈ 11.63. { \ displaystyle \ Gamma \ left ( 4.5 \ right ) = 3.5 ! = \ Pi \ left ( 3.5 \ right ) = { 1 \ over 2 } \ cdot { 3 \ over 2 } \ cdot { 5 \ over 2 } \ cdot { 7 \ over 2 } { \ sqrt { \ pi } } = { 8 ! \ over 4 ^ { 4 } 4 ! } { \ sqrt { \ pi } } = { 105 \ over 16 } { \ sqrt { \ pi } } \ approx 11.63. }\Gamma\left (4.5 \right) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63.
  • Γ ( − 2.5 ) = ( − 3.5 ) ! = Π ( − 3.5 ) = 2 − 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 − 5 π = ( − 4 ) 3 3 ! 6 ! π = − 8 15 π ≈ − 0.9453. { \ displaystyle \ Gamma \ left ( – 2.5 \ right ) = ( – 3.5 ) ! = \ Pi \ left ( – 3.5 \ right ) = { 2 \ over – 1 } \ cdot { 2 \ over – 3 } \ cdot { 2 \ over – 5 } { \ sqrt { \ pi } } = { ( – 4 ) ^ { 3 } 3 ! \ over 6 ! } { \ sqrt { \ pi } } = – { 8 \ over 15 } { \ sqrt { \ pi } } \ approx – 0.9453. }\Gamma\left (-2.5 \right) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453.

Giai thừa với số phức[sửa|sửa mã nguồn]

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức .Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước đạt Laurent :

Γ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ Γ ( k ) ( 1 ) k ! z k − 1, { \ displaystyle \ Gamma ( z ) = \ sum _ { k = 0 } ^ { \ infty } { \ frac { \ Gamma ^ { ( k ) } ( 1 ) } { k ! } } z ^ { k-1 } \, , }\Gamma(z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma^{(k)}(1)}{k!}z^{k-1}\,,

với | z | < 1. Khai triển ra ta có bảng những thông số như sau : n { \ displaystyle n }n
g n { \ displaystyle g_ { n } }g_n
approximation

0
1 { \ displaystyle 1 }1
1 { \ displaystyle 1 }

1
− γ { \ displaystyle – \ gamma }-\gamma
− 0.5772156649 { \ displaystyle – 0.5772156649 }- 0.5772156649

2
π 2 12 + γ 2 2 { \ displaystyle { \ frac { \ pi ^ { 2 } } { 12 } } + { \ frac { \ gamma ^ { 2 } } { 2 } } }\frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2}
0.9890559955 { \ displaystyle 0.9890559955 } 0.9890559955

3
− ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 { \ displaystyle – { \ frac { \ zeta ( 3 ) } { 3 } } – { \ frac { \ pi ^ { 2 } \ gamma } { 12 } } – { \ frac { \ gamma ^ { 3 } } { 6 } } }-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6}
− 0.9074790760 { \ displaystyle – 0.9074790760 }-0.9074790760

Ở đây

γ

{\displaystyle \gamma }

\gamma là hằng số Euler – Mascheroni còn

ζ

{\displaystyle \zeta }

\zeta là hàm zeta Riemann.

  • .
  • Đồ thị hàm Z = Re ( z ! ) .
  • Đồ thị hàm Z = Im ( z ! ) .

Các khái niệm tương tự như[sửa|sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)

[sửa|sửa mã nguồn]

Bài chi tiết cụ thể : Giai thừa nguyên tố

Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Giai thừa kép[sửa|sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n ! ! = { 1, khi n < = 1 ; n ( n − 2 ) ! ! khi n ≥ 2. { \ displaystyle n ! ! = \ left \ { { \ begin { matrix } 1, \ qquad \ qquad \ và và { \ mbox { khi } } n < = 1 ; \ \ n ( n-2 ) ! ! và và { \ mbox { khi } } n \ geq 2. \ qquad \ qquad \ end { matrix } } \ right. }{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}

Ví dụ :

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy những giai thừa kép tiên phong là :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

n!!
1
1
2
3
8
15
48
105
384
945
3840

Định nghĩa trên hoàn toàn có thể lan rộng ra cho những số nguyên âm như sau :

( n − 2 ) ! ! = n ! ! n { \ displaystyle ( n-2 ) ! ! = { \ frac { n ! ! } { n } } }(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,…là

1, -1, 1/3, -1/15…

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác lập .Một vài đẳng thức với giai thừa kép :

n ! = n ! ! ( n − 1 ) ! ! { \ displaystyle n ! = n ! ! ( n-1 ) ! ! \, }n!=n!!(n-1)!! \,
( 2 n ) ! ! = 2 n n ! { \ displaystyle ( 2 n ) ! ! = 2 ^ { n } n ! \, }(2n)!!=2^nn! \,
( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! { \ displaystyle ( 2 n + 1 ) ! ! = { ( 2 n + 1 ) ! \ over ( 2 n ) ! ! } = { ( 2 n + 1 ) ! \ over 2 ^ { n } n ! } }(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội[sửa|sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)….

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n

!

(
k
)

=

{

1
,

 

khi 

0
≤
n
< k ; n ( n − k ) ! ( k ) , khi  n ≥ k .     {\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.

Siêu giai thừa(superfactorial)

[sửa|sửa mã nguồn]

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288 { \ displaystyle \ mathrm { sf } ( 4 ) = 1 ! \ times 2 ! \ times 3 ! \ times 4 ! = 288 \, } \mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

Tổng quát

s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1. { \ displaystyle \ mathrm { sf } ( n ) = \ prod _ { k = 1 } ^ { n } k ! = \ prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { n-k+1 } = 1 ^ { n } \ cdot 2 ^ { n-1 } \ cdot 3 ^ { n-2 } \ cdots ( n-1 ) ^ { 2 } \ cdot n ^ { 1 }. } \mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,… (dãy số A000178OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,…

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

m f ( n, m ) = m f ( n − 1, m ) m f ( n, m − 1 ) = ∏ k = 1 n k ( n − k + m − 1 n − k ) { \ displaystyle \ mathrm { mf } ( n, m ) = \ mathrm { mf } ( n-1, m ) \ mathrm { mf } ( n, m-1 ) = \ prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { n-k+m-1 \ choose n-k } }\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}

trong đó

m
f

(
n
,
0
)
=
n

{\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n}

\mathrm{mf}(n,0)=n for

n
>
0

{\displaystyle n>0}

n>0″ class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96″/> and </p> <p>m<br /> f</p> <p>(<br /> 0<br /> ,<br /> m<br /> )<br /> =<br /> 1</p> <p>{\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1}</p> <p><img decoding=.

Giai thừa trên[sửa|sửa mã nguồn]

x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! { \ displaystyle x ^ { \ overline { n } } = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) \ cdots ( x + n-1 ) = { \ frac { ( x + n-1 ) ! } { ( x-1 ) ! } } }x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Rate this post